Conclusões

Essa segunda parte do trabalho apresentamos uma metodologia, baseado em um problema de decisão não-linear, para resolver o problema de empacotamento de retângulos em uma região convexa. Os resultados numéricos mostram que essa metodologia é uma aproximação promissora.

Os resultados mostram que para alguns problemas resultou em melhores resultados (empacotou mais retângulos) em relação as soluções encontradas em [6], que empacota retângulos inclinados.

Table: Problemas e regiões.

Problema	Região	Objetos empacotados
		Dimensões	nRet em [6]	nRet
1	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 10\\ g_3... ... x_2) = x_1^2 + x_2^2 - 100\\ g_6 (x_1, x_2) = - x_1 - x_2 + 3\\ \end{array}$	$2 \times 1$	30	31
2	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = x_1^2 - x_2\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1^2 / 4 + x_2 - 5\\ \end{array}$	$1 \times 0.4$	26	26
3	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = -7 x_1 + 6 x_2 - 24\\ g_2 (x_1, x_2) = 7 ... ...4\\ g_4 (x_1, x_2) = ( x_1 - 6 )^2 / 9 + ( x_2 - 8 )^2 / 9 - 1\\ \end{array}$	$1.1 \times 0.55$	30	28
4	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = x_1^2 - x_2\\ g_2 (x_1, x_2) = - x_1 + x_2^2 - 6 x_2 + 6\\ g_3 (x_1, x_2) = x_1 + x_2 - 6\\ \end{array}$	$0.9 \times 0.3$	30	32
5	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 8\\ g_3 ... ... - 81\\ g_6 (x_1, x_2) = ( x_1 - 1.7 )^2 + ( x_2 - 10 )^2 - 81\\ \end{array}$	$2 \times 0.6$	34	38
6	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1 + x_2^2 - 6 x_2 + 6\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 + x_2^2 - 3 x_2 - 3/4\\ \end{array}$	$0.9 \times 0.3$	31	30
7	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = ( x_1 - 2 )^2 / 4 + ( x_2 - 4 )^2 / 16 - 1\\ \end{array}$	$2 \times 0.5$	19	19
8	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = ( x_1 - 3 )^2 / 4 + ( x_2 - 4 )^2 / 16 - 1\... ..._4 (x_1, x_2) = x_1 - x_2 - 1\\ g_5 (x_1, x_2) = x_1 + x_2 - 9\\ \end{array}$	$0.8 \times 0.6$	24	22
9	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = ( x_1 - 6 )^2 / 4 + ( x_2 - 6 )^2 / 36 - 1\... ... (x_1, x_2) = x_1 - x_2 - 3\\ g_4 (x_1, x_2) = - x_1 + x_2 - 2\\ \end{array}$	$0.7 \times 0.5$	30	32
10	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = ( x_1 - 6 )^2 / 36 + ( x_2 - 6 )^2 / 4 - 1\\ g_2 (x_1, x_2) = ( x_1 - 6 )^2 / 9 + ( x_2 - 8 )^2 / 9 - 1\\ \end{array}$	$0.95 \times 0.35$	30	34
11	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ( 2 + \sqr... ..._1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - ( 2 + \sqrt{2} / 2 )\\ \end{array}$	$1 \times 1$	5	4
12	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ( 3 + \sqr... ..._1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - ( 3 + \sqrt{2} / 2 )\\ \end{array}$	$1 \times 1$	10	9
13	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 3.878\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - 3.878\\ \end{array}$	$1 \times 1$	11	9
14	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 4.676\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - 4.676\\ \end{array}$	$1 \times 1$	17	16
15	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ( 7 + \sqr... ..._1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - ( 7 + \sqrt{7} / 2 )\\ \end{array}$	$1 \times 1$	18	16

Table: Problemas e regiões (continuação).

Problema	Região	Obejtos empacotados
		Dimensões	nRet em [6]	nRet
16	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ( 3 + 4 \s... ..., x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - ( 3 + 4 \sqrt{2} / 3 )\\ \end{array}$	$1 \times 1$	19	16
17	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ( 7/2 + 3 ... ... x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - ( 7/2 + 3 \sqrt{2} / 2)\\ \end{array}$	$1 \times 1$	26	25
18	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 6.621\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - 6.621\\ \end{array}$	$1 \times 1$	37	36
19	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = \sqrt{3} x_1 + x_2 - \sqrt{3} ( 3/2 + \sqrt... ...g_2 (x_1, x_2) = - \sqrt{3} x_1 + x_2\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ \end{array}$	$1 \times 1$	27	25
20	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = \sqrt{3} x_1 + x_2 - \sqrt{3} ( 2 + 4 / \sq... ...g_2 (x_1, x_2) = - \sqrt{3} x_1 + x_2\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ \end{array}$	$1 \times 1$	28	26
21	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = \sqrt{3} x_1 + x_2 - \sqrt{3} ( 3 + 4 / \sq... ...g_2 (x_1, x_2) = - \sqrt{3} x_1 + x_2\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ \end{array}$	$1 \times 1$	29	29
22	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = \sqrt{3} x_1 + x_2 - \sqrt{3} ( 2 + 2 \sqrt... ...g_2 (x_1, x_2) = - \sqrt{3} x_1 + x_2\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ \end{array}$	$1 \times 1$	30	29
23	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = \sqrt{3} x_1 + x_2 - \sqrt{3} ( 4 + 4 / \sq... ...g_2 (x_1, x_2) = - \sqrt{3} x_1 + x_2\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ \end{array}$	$1 \times 1$	31	30
24	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = ( x_1 / 6 )^4 + ( x_2 / 2 )^4 - 1\\ g_2 (x_1, x_2) = 8 x_1 - 11 x_2 - 26\\ \end{array}$	$1.9 \times 0.5$	27	30
26	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 10\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - 8\\ \end{array}$	$2 \times 1$	40	40
27	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 23\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - 21\\ \end{array}$	$6 \times 5$	16	16
28	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 10\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - 8\\ \end{array}$	$2 \times 1$	34 + 6 fixos	34 + 6 fixos
29	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - 10\\ g_3 (x_1, x_2) = - x_2\\ g_4 (x_1, x_2) = x_2 - 8\\ \end{array}$	$2 \times 1$	34 + 6 fixos	34 + 6 fixos

Table: Problemas e regiões (continuação).

Problema	Região	Obejtos empacotados
		Dimensões	nRet em [6]	nRet
31	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1 + x_2 - 6\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ... ... 11\\ g_7 (x_1, x_2) = - x_2 + 1\\ g_8 (x_1, x_2) = x_2 - 11\\ \end{array}$	$2 \times 1$	28 + 2 fixos	28 + 2 fixos
33	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1 + x_2 - 6\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ... ... 11\\ g_7 (x_1, x_2) = - x_2 + 1\\ g_8 (x_1, x_2) = x_2 - 11\\ \end{array}$	$2 \times 1$	24 + 6 fixos	24 + 6 fixos
34	$\begin{array}{l} g_1 (x_1, x_2) = - x_1 + x_2 - 6\\ g_2 (x_1, x_2) = x_1 - ... ... 11\\ g_7 (x_1, x_2) = - x_2 + 1\\ g_8 (x_1, x_2) = x_2 - 11\\ \end{array}$	$2 \times 1$	20 + 10 fixos	20 + 10 fixos

Figure: (a-c) Restrições lineares e círculos, (d-f) Restrições lineares e quadráticos (Problemas 1 a 6).

(a)	(b)
(c)	(d)
(e)	(f)

Figure: Restrições lineares e elipses (Problemas 7 a 10).

(a)	(b)
(c)	(d)

Figure: Quadrados em quadrados (Problemas 11 a 18).

(a)	(e)
(b)	(f)
(c)	(g)
(d)	(h)

Figure: Quadrados em triângulos (Problemas 19 a 23).

(a)	(d)
(b)	(e)
(c)

Figure: Curvas e restrições lineares (Problema 24).

Figure: Retângulo em retângulo (Problemas 26 e 27).

(a)	(b)

Figure: Regiões proibidas para configurações especias em paletes (Problemas 28 a 34).

(a)	(b)
(c)	(d)
(e)